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假能推出真数学中不为人知的秘密 [复制链接]

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[遇见数学创作小组]作者:心如止水(Java程序员。善于把复杂的数学知识,简洁易懂地表达出来)

一个简单的小题,先别看答案,来试试看:

所以「当A真时B一定假」,所以TF是

请判断以下列命题的真假:2≠31.5是有理数(1)2≠31是质数(2)2=31.5是有理数(3)2=31是质数(4)只有第二个是假,其他的都是真(我是认真的)。你做对了几个?

这是挺反直觉的,第3个和第4个绝对不可能是对的啊!前提是假的,为什么命题还能是真的呢?难道胡说八道就可以证明数学命题了吗?

数学是严谨的,它的用语和自然语言和是有区别的:「」的并不是「推出」,而是「蕴含」(条件),「AB」表示「A为B的充分条件」,而不是「因为A所以B」(「A├B」)。[1]

在「蕴涵」中,前件为「假」,后件无论为「真」还是为「假」,命题都是「真」。

逻辑运算符真值表(图自)

「AB」表示「A是B的充分条件」。

所以「当A真时B假」(TF)这个命题是不成立的。

但这也就是唯一的「命题为假」的情况了,因为「充分条件」不满足时,A对B没有约束力(A不是B的必要条件)2,前件为假时,后件无论真假,都是可以的。

就拿「2=31.5是有理数(3)」来说吧,「2=3」是「1.5是有理数」的充分条件,那么「2=3」(F)和「1.5是有理数」(T)这两个命题是可以先后发生并同时存在的,因为「2=3为F」这个事实,并不会对后者造成任何干扰。

用一句谚语来说就是「条条大路通罗马」。

举一个生活中的例子:新药上市前要做「双盲对照实验」,「对照组」的病人吃的是假药,但是其中也不乏康复者,这就是FT的典型案例,是符合逻辑的。

不过这和数学又有什么关系呢?平常做题的时候会用得到吗?

蕴含和推出

数学上很多东西就是这样,看似无用,其实用处大着呢。

翻开一本高等数学的教科书,经常会看到书中把「」叫做「推出」,这么说也是没错的,「├」就是在「」的基础上加上了「因果」。

「因为A所以B」,A至少是「充分条件」,所以「」的道理在「├」中完全适用。

「」是比「├」更基本的道理,它和「∨」、「∧」以及「」构成了逻辑的地基,支撑了整个数学大厦。

「2=31.5是有理数」为真,挺反常识的,但「2=3∨1.5是有理数」大家就都懂了,其实「」与「∧」都是逻辑运算,不包含任何因果的判断。

计算机里有「与门」、「或门」和「非门」,同样的也可以用电路生成「蕴含门」,但是不能用电路生成「推出门」,如果真的能做到,数学家都可以下岗了。

借用一句数学名言:「逻辑运算」是上帝创造的,其余的都是人工作。

「反证法」是常用的证明技术,它之所以行得通,那要仰仗于「」:想证明为T,假设为T,再得到F,就证明了其实为F,那么为T。

喏,这就是「反证法」了。

「」保证了「反证法」是真理,但无法保证你的「反证」是真理,那是你的工作。

数学的本质

这东西也能叫数学吗?!没错,这就是数学,数学早就不只是「计算」了:住店的时候,让服务生给腾个房是数学,那是「希尔伯特旅馆」;去格尼斯堡旅游,不想走冤枉路是数学,那是「格尼斯堡七桥问题」;搬家的时候想选一个沙发,还是数学,你需要知道「沙发常数」。

一种特定的研究之所以被归类为数学,并不是基于什么被研究,反倒是基于它如何被研究。

什么是数学?这基于研究的方法论:数学是研究模式的科学(scienceofpatterns)。[3]

图自维基

最初,「数学」

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